Gdzie wykorzystujemy geometrię w prawdziwym życiu?
Geometria nie jest tylko rysowaniem trójkątów i obliczaniem pól. Jest wykorzystywana wszędzie tam, gdzie trzeba opisywać kształty, odległości, kąty i położenie obiektów.
Figury geometryczne na płaszczyźnie
Figura geometryczna to zbiór punktów na płaszczyźnie. W geometrii zajmujemy się między innymi punktami, prostymi, odcinkami, kątami i wielokątami.
Wielokąty
Wielokąt to figura ograniczona odcinkami. Odcinki te nazywamy bokami.
| Figura | Liczba boków | Przykład |
|---|---|---|
| Trójkąt | 3 | △ |
| Czworokąt | 4 | □ |
| Pięciokąt | 5 | ⬠ |
| Sześciokąt | 6 | ⬡ |
Trójkąty
Trójkąt jest wielokątem posiadającym trzy boki, trzy wierzchołki i trzy kąty.
Podział ze względu na boki
Podział ze względu na kąty
Oblicz trzeci kąt trójkąta
Wpisz dwa kąty trójkąta. Program obliczy trzeci.
Czworokąty
Czworokąt to wielokąt posiadający cztery boki, cztery wierzchołki i cztery kąty.
Pola najważniejszych czworokątów
| Figura | Wzór na pole |
|---|---|
| Kwadrat | P = a² |
| Prostokąt | P = a · b |
| Równoległobok | P = a · h |
| Trójkąt | P = a · h / 2 |
| Trapez | P = (a + b) · h / 2 |
Kalkulator pola prostokąta
Podaj długość i szerokość prostokąta.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkątów prostokątnych.
Bok znajdujący się naprzeciwko kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną. Pozostałe dwa boki to przyprostokątne.
gdzie a i b są przyprostokątnymi, a c jest przeciwprostokątną.
Przyprostokątne mają długości 3 cm i 4 cm. Obliczamy przeciwprostokątną.
9 + 16 = c²
25 = c²
c = 5
Przeciwprostokątna ma długość 5 cm.
Kalkulator twierdzenia Pitagorasa
Podaj długości obu przyprostokątnych.
Przekątna kwadratu
Przekątna kwadratu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Możemy więc wykorzystać twierdzenie Pitagorasa.
d² = 2a²
d = a√2
Bok kwadratu ma długość 6 cm.
W przybliżeniu:
Przekątna kwadratu
Podaj długość boku kwadratu.
Wysokość trójkąta równobocznego
Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:
Bok trójkąta równobocznego ma 8 cm.
h = 4√3 cm
W przybliżeniu:
Wysokość trójkąta równobocznego
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnie przydatne, gdy znamy dwie długości w trójkącie prostokątnym i chcemy znaleźć trzecią.
Drabina ma długość 5 m, a jej dolny koniec znajduje się 3 m od ściany. Jak wysoko sięga?
9 + h² = 25
h² = 16
h = 4
Drabina sięga na wysokość 4 m.
Problem z drabiną
Podaj długość drabiny oraz odległość jej podstawy od ściany. Obliczymy wysokość.
Trójkąt 90°–45°–45°
Jest to szczególny przypadek trójkąta prostokątnego. Dwa kąty ostre mają po 45°, dlatego jego przyprostokątne są równe.
Jeśli znamy długość przyprostokątnej, przeciwprostokątna wynosi:
Jeśli znamy przeciwprostokątną:
Przyprostokątna ma długość 7 cm.
Trójkąt 45°–45°–90°
Podaj długość przyprostokątnej.
Trójkąt 90°–30°–60°
To drugi bardzo ważny szczególny trójkąt prostokątny. Jego boki pozostają w określonych proporcjach.
Oznacza to:
- naprzeciwko kąta 30° znajduje się najkrótszy bok — a,
- naprzeciwko kąta 60° znajduje się bok — a√3,
- naprzeciwko kąta 90° znajduje się przeciwprostokątna — 2a.
Jeśli najkrótszy bok ma długość 5 cm:
drugi bok = 5√3
przeciwprostokątna = 10
Trójkąt 30°–60°–90°
Podaj najkrótszy bok a.
Odcinki w układzie współrzędnych
Jeśli znamy współrzędne dwóch punktów, możemy obliczyć długość odcinka łączącego te punkty.
Dla punktów:
długość odcinka AB wynosi:
Wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.
Dane są punkty:
B(4, 6)
Różnice współrzędnych:
Δy = 6 − 2 = 4
Zatem:
AB = √25
AB = 5
Odległość między punktami
Podaj współrzędne punktów A i B.
Wizualizacja punktów
Wpisz współrzędne punktów i zobacz odcinek w układzie współrzędnych.
Dowodzenie w geometrii
Dowodzenie matematyczne polega na pokazaniu, że dane twierdzenie jest prawdziwe. Nie wystarczy sprawdzić go dla kilku przykładów.
Jak budować dowód?
Określ dokładnie, co wiemy z treści zadania.
Określ, co chcemy udowodnić.
Korzystaj z definicji, twierdzeń, wzorów i własności figur.
Pokaż logicznie, że teza wynika z wcześniejszych informacji.
Przykład dowodu
Chcemy wykazać, że suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°.
Przez jeden wierzchołek trójkąta prowadzimy prostą równoległą do przeciwległego boku.
Korzystamy z własności kątów przy prostych równoległych. Otrzymane kąty odpowiadają kątom trójkąta.
Zatem suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi 180°.
Ważne w dowodzeniu
Sprawdź się
Zadanie 1 — Pitagoras
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6 cm i 8 cm. Oblicz przeciwprostokątną.
Zadanie 2 — przekątna
Bok kwadratu ma 5 cm. Jaki jest wzór na jego przekątną?
Zadanie 3 — układ współrzędnych
Punkty A(0,0) i B(3,4). Oblicz długość AB.
Zadanie 4 — trójkąt 30°–60°–90°
Najkrótszy bok ma 4 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna?
Zadanie 5 — trójkąt 45°–45°–90°
Przyprostokątna ma 6 cm. Podaj przybliżoną długość przeciwprostokątnej.