Gdzie spotykamy koła i okręgi?
Koła i okręgi są jednymi z najczęściej spotykanych kształtów w technice i codziennym życiu. Znajomość ich własności pozwala między innymi obliczać potrzebną długość materiału czy powierzchnię.
Styczna do okręgu
Styczna do okręgu to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Ten punkt nazywamy punktem styczności.
Najważniejsza własność
Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
Jeżeli z punktu P poza okręgiem poprowadzimy dwie styczne do okręgu, to ich długości są równe:
Interaktywny przykład — styczne
Punkt P znajduje się w odległości d od środka okręgu. Promień okręgu wynosi r. Obliczymy długość odcinka stycznego.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Położenie dwóch okręgów zależy od odległości między ich środkami oraz długości ich promieni.
Oznaczmy:
- R — promień pierwszego okręgu,
- r — promień drugiego okręgu,
- d — odległość między środkami.
| Położenie | Warunek | Liczba punktów wspólnych |
|---|---|---|
| Rozłączne zewnętrznie | d > R + r | 0 |
| Styczne zewnętrznie | d = R + r | 1 |
| Przecinające się | |R-r| < d < R+r | 2 |
| Styczne wewnętrznie | d = |R-r| | 1 |
| Rozłączne wewnętrznie | d < |R-r| | 0 |
Sprawdź wzajemne położenie okręgów
Liczba π
Liczba π jest stałą matematyczną opisującą zależność pomiędzy długością okręgu a jego średnicą.
Liczba π jest niewymierna, dlatego jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. W szkolnych obliczeniach najczęściej korzystamy z przybliżenia:
Skąd bierze się π?
Dla każdego okręgu stosunek jego długości do średnicy jest taki sam:
Oznacza to, że niezależnie od rozmiaru okręgu, jego długość jest około 3,14 razy większa od średnicy.
Eksperyment z liczbą π
Podaj długość okręgu i jego średnicę. Program obliczy przybliżenie liczby π.
Długość okręgu
Długość okręgu nazywamy także jego obwodem. Możemy ją obliczyć, znając promień albo średnicę.
Ponieważ średnica jest dwa razy większa od promienia:
Promień koła wynosi 5 cm. Obliczamy długość okręgu:
Kalkulator długości okręgu
Podaj promień okręgu.
Pole koła
Koło to część płaszczyzny ograniczona przez okrąg. Jego pole obliczamy za pomocą promienia.
Najpierw podnosimy promień do kwadratu, a następnie mnożymy wynik przez π.
Promień koła wynosi 4 cm.
Kalkulator pola koła
Podaj promień koła.
Pole koła w praktyce
Wyobraź sobie okrągły klomb o promieniu 3 m. Chcemy wiedzieć, ile metrów kwadratowych ziemi zajmuje jego powierzchnia.
Potrzebujemy więc około 28,27 m² ziemi, aby pokryć cały klomb.
Sprawdź się
Promień koła wynosi 7 cm. Jaka jest jego średnica?
Promień okręgu wynosi 5 cm. Jaka jest jego długość? Podaj wynik z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
Koło ma promień 4 cm. Jaka jest jego powierzchnia?
Czy dwa okręgi o promieniach 5 cm i 3 cm, których środki są oddalone o 8 cm, są styczne?
Długość okręgu wynosi około 31,4 cm. Jaki jest jego promień? Przyjmij π = 3,14.