🔢
Liczby i działania
Liczby naturalne, całkowite, ułamki, kolejność działań i liczby dziesiętne.
Otwórz dział →PLAN NAUKI
Od podstaw do egzaminu
Wybierz temat. Każdy dział zawiera teorię, wizualizację, wzory i przykłady. Narzędzia poniżej pozwalają ćwiczyć bez kalkulatora.
📚 Działy
🔎
💯
Procenty
Procent liczby, podwyżki, obniżki, punkty procentowe i zadania praktyczne.
Otwórz dział →⚡
Potęgi i pierwiastki
Prawa potęg, notacja, pierwiastki i upraszczanie wyrażeń.
Otwórz dział →𝑥
Algebra i równania
Wyrażenia algebraiczne, równania, proporcje i zadania tekstowe.
Otwórz dział →📐
Geometria płaska
Kąty, trójkąty, czworokąty, koło, pola i obwody.
Otwórz dział →🧊
Geometria przestrzenna
Graniastosłupy, ostrosłupy, walec, kula, objętość i pole powierzchni.
Otwórz dział →🔺
Pitagoras
Trójkąt prostokątny, przekątne, odległości i zastosowania.
Otwórz dział →📍
Układ współrzędnych
Punkty, odległości, wykresy i symetria.
Otwórz dział →📊
Statystyka i prawdopodobieństwo
Średnia, mediana, moda, wykresy i doświadczenia losowe.
Otwórz dział →🧠
Strategie zadań
Jak czytać treść, zapisywać dane, sprawdzać wynik i zdobywać punkty.
Otwórz dział →01
DZIAŁ
Liczby i działania
Zanim policzysz cokolwiek trudniejszego, musisz wiedzieć, w jakiej kolejności wykonywać działania — to jeden z najczęstszych błędów na egzaminie.
Nawiasy → Potęgi/pierwiastki → Mnożenie/Dzielenie → Dodawanie/Odejmowanie
🧩 Przykład krok po kroku
1. Oblicz 2 + 3·(5−2)².
2. Nawias: 5−2 = 3.
3. Potęga: 3² = 9.
4. Mnożenie: 3·9 = 27.
5. Dodawanie: 2+27 = 29.
📎 Warto znać
NWD(12,18) = 6 — największy wspólny dzielnik
NWW(12,18) = 36 — najmniejsza wspólna wielokrotność
|−7| = 7 — wartość bezwzględna to zawsze odległość od zera
💡 Uważaj: „−3²” to −9 (minus bierzemy na końcu), a „(−3)²” to 9. Nawiasy zmieniają wynik!
02
DZIAŁ
Procenty
Procent to ułamek o mianowniku 100. 25% oznacza 25/100 = 0,25.
p% z a = p/100 · a
🧩 Przykład krok po kroku
1. Oblicz 15% z 240.
2. Zamień procent na ułamek: 15/100.
3. Pomnóż: 0,15 · 240 = 36.
🎛️ Interaktywne procenty
50
💡 Uważaj: podwyżka o 20%, a potem obniżka o 20% nie daje wartości początkowej. Druga operacja liczona jest od nowej (już zmienionej) wartości.
03
DZIAŁ
Potęgi i pierwiastki
Potęgowanie to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie: aⁿ = a·a·...·a (n razy).
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
🧩 Przykład krok po kroku
1. Oblicz 2³ · 2².
2. Ta sama podstawa → dodaj wykładniki: 3+2=5.
3. 2⁵ = 32.
📎 Pozostałe prawa
aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
a⁰ = 1 (dla a≠0)
√(a·b) = √a · √b
💡 Uważaj: pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych, np. √(−9) nie ma sensu w tym zakresie.
04
DZIAŁ
Równania
Równanie działa jak waga: jeśli wykonujesz operację po jednej stronie, wykonaj ją także po drugiej.
3x + 6 = 21 → 3x = 15 → x = 5
3x + 6
=21
x = 5
💡 Wzory skróconego mnożenia: (a+b)²=a²+2ab+b², (a−b)²=a²−2ab+b², a²−b²=(a−b)(a+b). Zawsze trzy składniki dla kwadratu sumy/różnicy!
05
GEOMETRIA
Pola figur
Prostokąt
P = a · b
Obw. = 2a + 2b
P = a · b
Obw. = 2a + 2b
Kwadrat
P = a²
Obw. = 4a
P = a²
Obw. = 4a
Trójkąt
P = a · h / 2
P = a · h / 2
Koło
P = πr²
L = 2πr
P = πr²
L = 2πr
📐 Pole prostokąta
28 cm²
💡 Kąty: suma kątów w trójkącie to zawsze 180°, a w dowolnym czworokącie 360°.
06
GEOMETRIA
Geometria przestrzenna
Bryły mają dwie ważne wielkości: pole powierzchni (ile potrzeba materiału, żeby je „obleczyć”) i objętość (ile się w nie mieści).
Graniastosłup: V = Pp · H | Ostrosłup: V = ⅓ · Pp · H
🧩 Przykład: sześcian o boku a=4 cm
1. Objętość: V = a³ = 4³ = 64 cm³.
2. Pole jednej ściany: a² = 16 cm².
3. Pole całkowite: Pc = 6a² = 6·16 = 96 cm².
📎 Pozostałe bryły
Prostopadłościan: V = a·b·c
Walec: V = πr²H, Pc = 2πr² + 2πrH
Kula: V = 4/3·πr³, P = 4πr²
💡 Uważaj na jednostki: objętość podajemy w cm³, dm³ lub litrach — 1 dm³ = 1 litr.
07
GEOMETRIA
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
a² + b² = c²
c jest zawsze przeciwprostokątną — leży naprzeciw kąta 90°.
🎯 Kalkulator boku
5
Przeciwprostokątna c
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
√25 = 5
💡 Trójki pitagorejskie warto znać na pamięć: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13 — pojawiają się bardzo często w zadaniach.
08
WYKRESY
Układ współrzędnych
Punkt zapisujemy jako (x, y): najpierw przesuwamy się w poziomie, potem w pionie.
💡 Odległość punktów: odległość między (x₁,y₁) i (x₂,y₂) liczysz twierdzeniem Pitagorasa — to najczęstsze połączenie tematów na egzaminie.
09
DANE
Średnia i mediana
Średnia to suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę. Mediana to środkowa wartość po uporządkowaniu danych.
Średnia8.33
Mediana7.5
Minimum4
Maksimum14
💡 Moda to wartość, która pojawia się najczęściej — w przykładzie powyżej to 7.
10
STRATEGIE
Jak rozwiązywać zadania tekstowe
Na egzaminie liczy się nie tylko wynik, ale też sposób dojścia do niego — część punktów dostaje się za metodę.
📋 Plan działania
1. Przeczytaj treść dwa razy i zaznacz dane liczbowe.
2. Zapisz, czego szukasz (niewiadoma) i jakie masz dane.
3. Ułóż wzór lub równanie łączące dane z niewiadomą.
4. Rozwiąż i sprawdź, czy wynik ma sens w kontekście zadania.
5. Zapisz odpowiedź pełnym zdaniem, z jednostką.
🧩 Przykład łączony
Bok kwadratowej działki wynosi 12 m. Właściciel sprzedał 25% powierzchni. Ile m² zostało?
1. Pole działki: P=12²=144 m².
2. Sprzedano: 25% z 144 = 36 m².
3. Zostało: 144−36 = 108 m².
💡 Najczęstsze błędy: pomijanie jednostek, zła kolejność działań i brak sprawdzenia, czy odpowiedź pasuje do sensu zadania (np. długość nie może być ujemna).
🛠️ Narzędzia
🎲 Losowe zadanie
Kliknij, aby dostać zadanie.
⏱️ Stoper nauki
25:00
🧮 Szybki kalkulator
—
📌 Ściąga ze wzorów
Pełna wersja ze wszystkimi wzorami →Procentp% z a = p/100 · a
Pitagorasa²+b²=c²
Prędkośćv=s/t
ProstokątP=ab
TrójkątP=ah/2
KołoP=πr²
GraniastosłupV=Pp·H
OstrosłupV=Pp·H/3
Średniasuma/liczba danych
Skala1:n
Potęgiaᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
Wzór skróconego mnożenia(a+b)²=a²+2ab+b²
SPRAWDŹ SIĘ
⚡ Quiz 10 pytań
TRYB EGZAMINACYJNY
🎯 Mini egzamin
10 pytań • wynik na końcu • ćwicz bez podpowiedzi